Atividade Diferente com o Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras é um conhecido resultado da matemática. Também, devido a sua alta aplicabilidade em diversas situações ele é ensinado amplamente nas escolas e inspira atividades das mais diversas. Nesse texto você verá uma atividade diferente com o Teorema de Pitágoras, que aborda uma parte dele que é comumente esquecida.

Apesar de levar o nome de Pitágoras, não se sabe se foi ele mesmo que encontrou esse resultado, que pode ser atribuído à Escola Pitagórica em geral, mas já existem registros desse resultado em várias partes do mundo antes da Grécia.

O que diz o Teorema de Pitágoras?

O Teorema tem o seguinte enunciado:

Um triângulo é retângulo se, e somente se, o quadrado de seu maior lado é igual à soma dos quadrados de seus outros dois lados.

Uma forma mais aritmética de escrever esse teorema pode ser feito da seguinte forma:

Dado um triângulo de lados a, b e c, sendo c o maior deles. O triângulo é retângulo ⇔ a²+b²=c².

Essa segunda forma deixa ainda mais explícita a fórmula que carrega a fama de todo o teorema: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa a²+b²=c².

Essa fórmula é bastante utilizada, pois permite, sabendo dois lados de um triângulo retângulo, calcular o terceiro.

No entanto, o Teorema não nos dá apenas a fórmula para esse cálculo. O “se e somente se” nos diz que se um triângulo é retângulo então podemos aplicar a fórmula, mas também diz que se conseguirmos achar um triângulo que satisfaça a relação a²+b²=c², então esse triângulo é retângulo. Portanto, nos permite descobrir, sabendo as medidas dos lados de um triângulo, se ele é retângulo ou não.

Atividade Diferente com o Teorema de Pitágoras

A maioria das atividades sobre Teorema de Pitágoras te dizem que um triângulo é retângulo e te dão algumas informações para calcular a medida de um dos lados desse triângulo através dos outros.

Por exemplo: Uma escada encostada na parede forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. A distância do pé da escada até a parede é de 3 metros, e o tamanho da escada é de 5 metros. Qual a altura da parede que encosta a escada?

Esse é um problema clássico e para resolvê-lo basta notar que a escada cumpre papel da hipotenusa, a distância do pé da escada a parede é um cateto e a altura da parede que a escada encosta do outro cateto. Chamando o cateto que queremos descobrir de x, temos que: 5²=4²+x² ⟹ 25=16+x² ⟹ x²=25-16=9 ⟹ x = 3.

Mas agora vamos propor uma atividade diferente.

Dado um triângulo de lados 8, 15 e 17, como podemos classificar esse triângulo em relação aos ângulos?

Para resolver esse problema, basta perceber que 8²+15²=64+225=289=17², logo: 8²+15²=17². Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, o triângulo com essas medidas é retângulo.

Assim também podemos dizer quando um triângulo não é retângulo. Por exemplo, um triângulo de lados, 6, 7 e 10 não é retângulo, pois: 6²+7²=36+49=85≠100=10², isto é, 6²+7²≠10².

Agora, um desafio para testar o conhecimento:

Dado um número positivo k, Roberto desenhou um triângulo de lados medindo 3*k, 4*k e 5*k. Após finalizar seu triângulo ele falou que tinha feito um triângulo retângulo. Roberto falou a verdade?

Para responder essa pergunta vamos verificar se os lados do quadrado de Roberto seguem a regra necessária para formarem um triângulo retângulo:

(3·k)²+(4·k)² = 9k²+16k² = 25k² = 5²k² = (5·k)², logo: (3k)²+(4k)²=(5k)². Portanto o triângulo de Roberto é retângulo e ele está falando a verdade.

Vem mais pela frente…

Agora, que você sabe dizer se um triângulo é retângulo apenas olhando para a medida dos seus lados, é natural se perguntar se não é possível sempre saber o tipo de triângulo de acordo com essas medidas.

A resposta para essa pergunta é: Sim.

A conhecida fórmula do Teorema de Pitágoras pode ser vista como o caso particular de aplicação da lei dos cossenos, e com a lei dos cossenos conseguimos dizer se um triângulo é acutângulo ou obtusângulo sabendo apenas as medidas de seus lados.

Por isso não deixe de acompanhar o blog, em breve estaremos escrevendo sobre a utilíssima: Lei dos Cossenos.

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