Exercícios de divisibilidade

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O objetivo deste texto é apresentar ao leitor uma coleção de exercícios de divisibilidade que podem ser facilmente resolvidos com os conceitos iniciais de divisibilidade e por isso podem servir como exercícios de fixação.

Introdução

Os exercícios deste texto utilizam diferentes conceitos abordados aqui no blog e que envolvem a divisibilidade. Para que o leitor fique a vontade de sempre que julgar necessário voltar nos textos para lembrar as definições e propriedades, estão listados a seguir os textos com assuntos que podem ser relevantes para a resolução:

Breve introdução a números primos

Teorema Fundamental da Aritmética

O que é MDC

O que é MMC

Exemplos.

Antes dos exercícios vamos ver alguns exemplos resolvidos como motivação para a lista:

Exemplo 1. O número 2³·3·5 é divisível por 4?

A resposta é sim! Pois, o número 4=2², e como 2³·3·5 = 2²·30 = 4·30.

Exemplo 2. Se um número é divisível por 4 e por 6 então ele é divisível por 4·6=24?

Não. Veja que 12 = 4·3 e 12 = 6·2, isto é, é divisível por 4 e por 6, mas 12 não é divisível por 24.

Exemplo 3. Mostre que a multiplicação de 3 números consecutivos é sempre divisível por 6.

Primeiro, note que, em três números consecutivos pelo menos 1 deles é divisível por 3. 

Caso o leitor não esteja convencido disso, o convido a tentar mostrar esse fato.

E, também, terá pelo menos um número divisível por 2. 

Logo a multiplicação desses 3 números consecutivos pode ser representada como: 2·3·a·b·c = 6·abc. Portanto, é divisível por 6.

Exemplo 4. Quais os pares de soluções naturais de x²-y²=17.

Observe que x²-y² = (x+y)(x-y). Daí 17 = (x+y)(x-y)

Isto é, 17 está sendo representado como a multiplicação de dois naturais, mas 17 é primo. Logo um deles é 1 e o outro 17.

Assim, x+y=17 e x-y=1. Resolvendo esse sistema encontramos que x=9 e y=8.

Exercícios de divisibilidade

Agora é sua vez de resolver.

Exercício 1. 2⁹·5 é divisível por 25?

Exercício 2. Se N não é divisível por 3, 14N pode ser divisível por 3?

Exercício 3. Prove ou dê um contraexemplo: se N é par então 3N é divisível por 6.

Exercício 4. Prove ou dê um contraexemplo: Se 4N é divisível por 5 então N é divisível por 5.

Exercício 5. Prove que a multiplicação de 5 números naturais consecutivos é múltiplo de 120.

Exercício 6. Encontre as soluções naturais de x²-y²=303

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