Propriedades da multiplicação

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Nesse texto o leitor vai encontrar uma discussão básica sobre as propriedades da multiplicação. A operação de multiplicação é apresentada já para crianças nas séries iniciais e suas propriedades são exploradas implicitamente num primeiro momento.

Essas propriedades são re-apresentadas mais explicitamente em outros momento, mas como acessórios e deixando de lado algumas consequências que elas carregam. 

Num estudo mais profundo dos conjuntos e das operações é possível observar que as propriedades de uma operação são na verdade a essência dela. Para os leitores que desejam aprofundar esse estudo de Álgebra, continue acompanhando o blog que em breve teremos vários textos sobre.

Propriedades da multiplicação

A partir daqui consideramos a propriedade de multiplicação com o sinal ·, se o leitor preferir pode usar × ou qualquer outro sem prejuízo. Também, consideramos essa operação nos números reais, isto é, a multiplicação é uma operação que pega dois números reais e leva num número real.

1. Propriedade associativa.

Dados a, b e c números reais, então: (a·b)·c = a·(b·c).

O que essa propriedade ajuda a pensar na multiplicação de mais de dois números simultaneamente, pois a multiplicação está definida apenas para dois números por vez, e ela diz que, se o números estiverem justapostos pela operação, podemos “escolher” quais dois que estão lado a lado vamos operar primeiro.

Isso faz com que não seja preciso usar parênteses em 5·2·7 por exemplo, pois (5·2)·7=5·(2·7).

2. Propriedade comutativa.

Dados a e b números reais, então a·b = b·a

Essa propriedade é comumente falada como “a ordem dos fatores não altera o produto”, em geral em matemática sempre que falamos de comutatividade estamos falando sobre uma propriedade que permita alterar a localização dos elementos sem perder a essência do que eles estão fazendo.

Junto à propriedade associativa faz que possamos numa multiplicação de vários números escolher dois quaisquer para começar multiplicando, não precisando se preocupar se estão do lado ou não.

3. Existência do elemento neutro.

Existe um número real e tal que, para todo número real a temos: a·e=a.

Essa propriedade diz que tem um número que não altera os outros se multiplicado, por isso é “neutro”. Esse número é o 1, então e=1. Pela comutatividade não precisamos explicitar, mas uma forma mais completa é escrever a·e = e·a = a, para mostrar que a multiplicação à esquerda e à direita no elemento neutro não altera o número/elemento.

4. Existência do elemento inverso.

Para todo a, número real, existe b real tal que: a·b = b·a = 1.

Essa propriedade diz que sempre conseguimos um número que vai multiplicar o nosso e dar o elemento neutro. Antes que o leitor se questione, o inverso é único para cada número e vamos denotar o inverso de a como a⁻¹. Essa propriedade pode nos fazer definir a divisão, basta definir x dividido por y é x multiplicado por y⁻¹.

5. Distributividade.

Essa propriedade diz respeito a multiplicação e sua relação com outra operação, a soma.

Dados a, b e c reais, então

(a+b)·c = (a·c) + (b·c).

Observações sobre as propriedades da multiplicação

Primeiro, ao ler a propriedade do elemento neutro o leitor pode se perguntar se não existe outro número que cumpre essa propriedade. A resposta é não. Até por isso que já explicitamos que ele é o “1”. É possível provar isso usando apenas as propriedades vistas no texto.

Também pode se perguntar se a multiplicação de números naturais, inteiros ou racionais possuem as mesmas propriedades. Essa pergunta devolvo ao leitor, como uma provocação, mas deixarei aqui um gostinho do que pode ser essa investigação. Dado o número natural 2, existe algum número natural que multiplicado por 2 dá 1? 

A resposta é não, isso faz que nos naturais a multiplicação não tenha a propriedade do elemento inverso, para cada conjunto quais outras propriedades das apresentadas a multiplicação vai manter ou perder.

Ainda sobre isso uma pergunta que o leitor pode responder é, o elemento neutro da multiplicação para os racionais é o mesmo que para os reais? E para os inteiros?

Como uma provocação final. Você conhece alguma multiplicação que é definida e não é comutativa?

Viu como estudar as propriedades das operações podem nos guiar por muitos caminhos. Segue acompanhando o blog para mais.

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